Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 14: Góc trong tam giác

 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
 HH7. CHUYÊN ĐỀ 14: GÓC TRONG TAM GIÁC
PHẦN I. Cơ sở lý thuyết:
1. Trong tam giác:
 Tổng số đo ba góc trong tam giác bằng 1800 .
 Biết số đo hai góc ta xác định được góc còn lại.
 Mỗi góc ngoài củ tam giác bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó.
2. Trong tam giác cân: biết được một góc ta xác định được hai góc còn lại.
3. Trong tam giác vuông: 
 Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại.
 Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó có số đo bằng 
 300 .
4. Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng 450 .
5. Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng 600 .
6. Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc có số đo bằng nhau.
7. Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là 900 .
8. Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là 450 .
9. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
10. Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cùng phía, ...
Khi giải các bài toán về tính số đo góc cần chú ý: 
1. Vẽ hình chính xác, đúng với số liệu trong đề bài để có hướng chứng minh đúng.
2. Phát hiện tam giác dều, nửa tam gíc đều, tam giác vuông cân, tam giác cân trong hình vẽ.
3. Chú ý mối liên hệ giữa các góc trong tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, phát 
hiện các cặp tam giác bằng nhau. Vẽ đường phụ hợp lý làm xuất hiện các góc đặc biệt, những cặp góc 
bằng nhau. Trong các đường phụ vẽ thêm, có thể vẽ đường phân giác, đường vvuông góc, tam giác đều, 
...
4. Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữa các góc.
5. Xét dủ các trường hợp về số đo góc có thể xảy ra (vì dụ góc nhọn, góc tù, ... )
 (Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập 2 – Vũ Hữu Bình )
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các 
góc ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhu ... rồi suy ra kết quả.
Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường 
hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những “điểm sáng bầt ngờ” có thể là 
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
một đường kẻ phụ, một hình vẽ phụ ... từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ 
năng đã học trước đó mới giải quyết được. Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là 
“chìa khóa” thực thụ để giải quyết dạng toán này.
PHẦN II. Một số dạng toán và hướng giải quyết.
Dạng 1: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều.
I. Phương pháp giải: vẽ thêm hình phụ tam giác đều.
II. Bài toán:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có Aµ = 200 có AB = AC , lấy M AB sao cho MA = BC . Tính số 
đo A· MC .
Hướng giải:
 Cách 1:
Vẽ tam giác BDC đều ( D,A cùng phía so với BC ). C
Nối A với D .
 · · 0
Ta có ABD ACD (c – c – c ) DAC DAB 10 D
 A B
Lại có AMC CDA (c – g – c ) M· CA D· AC 100 M
 A· MC 1800 A· CM M· AC 1800 200 100 1500
 Cách 2: D
Vẽ tam giác ACD đều ( D,M cùng phía so với AC ). 
Ta có BAC ADM (c – g – c ) A· MD 800 (1)
 C
 MDC cân tại, M· DC 400 D· MC 700 (2)
Từ (1)và (2)suy ra A· MC 1500
 A
Nhận xét: M B
Ta cần tìm A· MC thuộc tam giác ABC có Aµ 200 có Bµ Cµ 800 200 600 . Ta thấy có sự liên hệ rõ 
nét giữa góc 200 và góc 600 , mặt khác MA BC . Từ đây ta thấy các yếu tố xuất hiện ợ trên liên quan 
đến tam giác đều. Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
 Từ hướng giải quyết trên chúng ta thử giải bài toán 1 theo các phương án sau:
 • Vẽ ADC đều ( C,D khác phía so với AB )
 • Vẽ ABD đều ( B,D khác phía so với AC )
 • Vẽ AMD đều ( C,D khác phía so với AB )
 .
 Lập luận tương tự ta cũng có kết quả.
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ = 400 , đường cao AH , các điểm E, F theo thứ tự 
thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho E· BA = F· BC = 300 . Tính A· EF?
Hướng giải:
Vẽ ABD đều ( B,D cùng phía so với AC ).
 µ 0
 ABC cân tại A, A 40 A
 A· BC A· CB 700 mà B· FC 300 (gt)
 A· BF 400 , B· AF 400 ABF cân tại F
 AF BF, mặt khác AD BD , FD chung
 AFB BFD (c – c – c )
 F
 E
 600
 A· DF B· DF 300 D
 2
Do AH là đường cao của tam giác cân BAC B H C
 B· AE 200 F· AD 600 400 ,
 AB AD (vì ABD đều ), A· BE 300 (gt) A· DF
 ABE ADF (g – c – g ) AE AF AEF cân tại A
 1800 200
Mà E· AF 200 A· EF 800
 2
Nhận xét:
Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác đều xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ giả thiết 400 600 200 và mối liên hệ FA FB được suy ra từ ABE cân tại 
 F.
Với hướng suy nghĩ trên, chúng ta có thể giải Bài 2 theo cách sau:
 • Vẽ AFD đều, F,D khác phía so với AB (H.1 )
 • Vẽ BFD đều, F,D khác phía so với AB (H.2 )
 A
 A
 D
 D F
 F E
 E
 B H C
 B H C
 Hình 1 Hình 2
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
Bài toán 3: (Trích Toán nâng cao lớp 7 – Vũ Hữu Bình )
Cho ΔABC có Bµ = Cµ = 450 . Điểm E nằm trong ΔABC sao cho E· AC = E· CA = 150 . Tính B· EA ?
Hướng giải:
 Vẽ AEI đều ( I,B cùng phía so với AE ) A
Ta có AEC AIB (c – g – c)
 IB CE mà IE CE ( AEI đều )
 IB IE EBI cân tại I I E
 · 0 0 0 0
 EIB 360 60 150 150 B C
 I·EB 150
 B· EA B· EI I·EA 750
 A
Nhận xét:
Xuất phát từ góc 150 và 750 đã biết, ta có 600 750 150 và 
EA EC do AEC cân tại E . Với những yếu tố đó giúp ta nghĩ 
 E
đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
Ta có thể giải Bài 3 theo cách sau: Vẽ ACD đều (D,E khác phía B C
so với BC ) D
Một số bài toán tương tự:
 Bài 3.1. Cho ABC có Aµ 1v , AB 2AC . Kẻ Cx / /AB . Kẻ AD sao cho C· AD 150 , D Cx 
( B,D cùng phía so với AC ). Tính A· DB?
 Bài 3.2. Cho ABC có Aµ 1v , Bµ 750 , BH 2AC,H AB ( B,H khác phía so với AC ). Tính 
H· CA?
 Bài 3.3. Cho ABC ( AB AC ), Aµ ( 600 1200 ). Điểm M nằm trong ABC sao cho 
 600
M· AC M· AC . Tính B· MC?
 2
Bài toán 4: Cho ΔABC có Aµ = 800 , AB = AC , M là điểm nằm trong ΔABC sao cho M· BC = 100 , 
M· CB = 300 . Tính A· MB?
Hướng giải:
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
 Cách 1:
Vẽ BDC đều ( A,D cùng phía so với BC ) D
Dễ thấy BAD CAD (c – g – c)và DBA CMB (g – c – g )
 A
 0 0 0
 · 0
 BA BM ABM cân tại B, ABM 50 10 40 80
 A· MB 700
 M
 Cách 2: B C
Vẽ ABD đều ( A,D khác phía so với BC ) A
 0
 ABM cân tại A . Từ đó có hướng giải quyết tương tự. 80
Nhận xét: 
 0 0
Xuất phát từ giả thiết AB AC và liên hệ giữa góc 10 với góc 50 M
 B C
ta có 500 100 600 . Từ đó nghĩ đến giải pháp dựng tam giác đều. 
 D
Bài toán 5: Cho ΔABC có Bµ = Cµ = 700 . Kẻ tia Bx sao cho C· Bx = 100 . Trên tia Bx lấy điểm D sao 
cho BD = BA ( A,D khác phía so với BC ). Tính B· CD?
Hướng giải: A
 Cách 1:
Vẽ BIC đều ( A,I cùng phía so với BC ) I
Ta thấy BIA CIA (c – g – c )và BIA BCD (c – g – c )
 B· AC C
 B· CD B· IA 1800 100 1500 B
 2 
 D x
 Cách 2: A
Vẽ ABE đều ( E,B khác phía so với AC )
Từ đây ta có cách giải quyết tương tự. I
Nhận xét:
 0 0 0 0 0
Ta thấy bài xuất hiện góc 70 và góc 10 mà 70 10 60 , đồng thời E
 C
 BD BA . Điều này nảy sinh ý nghĩ vẽ hình phụ là tam giác đều. B
 D x
 1
Bài toán 6: Cho tam giác ΔABC có B· AC = 750 , BH vuông góc với AC tại H và BH = AC . 
 2
Tính A· BC .
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
Hướng giải:
 B
Dựng tam giác đều ABE , sao cho hai điểm E và C nằm
trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB
Vì B· AC 750 B· AE 600 nên tia AE nằm giữa hai tia 
 E
AB và AC C· AE 150
 75°
Gọi K là trung điểm của AC AK CK BH C
 A H K
 1
 (Vì BH AC )
 2
Do tam giác ABH vuông tại H và B· AC 750 ·ABH 150
 ABH EAK (c.g.c) E· KA ·AHB 900 EAC cân tại E E· CK 150 ·AEC 1500
Mà ·AEB 600 (do tam giác ABE đều) B· EC 1500
Xét hai tam giác AEC và BEC có:
EC cạnh chung
·AEC B· EC 1500
AE BE (hai cạnh của tam giác đều)
 AEC BEC (c.g.c)
 CA CB ACB cân tại C
 ·ABC B· AC 750
Dạng 2: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.
I. Phương pháp giải: Vẽ thêm đường phụ.
II. Bài toán:
Bài toán 7: Tính các góc của ΔABC biết rằng đường cao AH , đường trung tuyến AM chia B· AC 
thành ba góc bằng nhau.
Phân tích: 
+ Đường cao AH , đường trung tuyến AM chia B· AC thành ba góc bằng nhau.
 ABM cân tại A (đường cao đồng thời là đường phân giác) A
 AH dđồng thời là đường trung tuyến. 
 1 1 K
 HB HM MB HM MC
 2 2
 B C
+ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến M· AC M· AH H· AB H M
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
 1 1
Và liên quan đến HM HB MB MC
 2 2
 kẻ MK  AC tại K . Khi đó ta có sơ đồ phân tích:
 1
 AM  AC tại K AHM AKM MK MH MK MC
 2
 Cµ 300 H· AC 600 H· AM M· AC 300 H· AB 300 B· AC 900 Bµ 600
Hướng giải:
Kẻ MK  AC tại K . Xét ABM ta có:
 AH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác ứng với cạnh A
 BM
Nên ABM cân tại A . H là trung điểm của MB K
 1 1
 HM MB BC
 2 4
 B C
 H M
Xét AHM và AKM có: 
 AM là cạnh huyền chung, H· AM K· AM (gt )
 AHM AKM (cạnh huyền – góc nhọn )
 1
 HM KM KM MC
 2
 1
Xét MKC có M· KC 900 , KM MC
 2
 Cµ 300 từ đó ta tính được Bµ 600 , Aµ 900 .
 1
Bài toán 8: Cho tam giác ABC , Cµ = 300 . Đường cao AH , AH = BC , D là trung điểm của AB
 2
Tính góc ACD .
 A
Hướng giải:
 1
Xét AHC , có Cµ 300 , ·AHC 900 AH AC
 2 D
 1
Mà: AH BC (gt) AC BC ACB cân tại C
 2 B H C
 CD là phân giác của góc ACB ·ACD 150
Nhận xét: Suy nghĩ chứng minh tam giác ACB cân xuất phát từ tam giác AHC vuông có 
 1
 Cµ 300 , AH BC
 2
Bài toán 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. về phía ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác 
đều ABD và ACE , I là trực tâm của tam giác ABD , H là trung điểm BC . Tính góc IEH .
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
Phân tích: 
Tam giác HEI là một nửa tam giác đều
 vẽ thêm đường phụ để xuất hiện nửa tam giác đều (còn lại )
 Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HF HE
Hướng giải:
Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HF HE E
Ta có: BHF CHE (c – g – c ) BF CE
 D A
Ta có: IA IB và ·AIB 1200 (vì tam giác ABD đều )
 I
Lại có: I·AE 300 B· AC 600 900 B· AC
 I·BF 3600 (I·BA ·ABC H· BF)
 B H C
 = 3600 (300 ·ABC E· CH )
Mà: 
 = 3600 (300 ·ABC ·ACB 600 )
 = 3600 (900 1800 B· AC) 900 B· AC
 IBF IAE (c.g.c) IF IE F
 FIE cân tại I , mà ·AIB 1200 F· IB 1200 I·EH 300 
Khai thác:
Với cách giải này HS có thể phát hiện và đề xuất các cách vẽ đường phụ như sau:
 • Vẽ K đối xứng với I qua H (hình 1)
 • Vẽ M đối xứng với B qua I (hình 2)
 Hình 1. Hình 2.
 E
 E
 M
 D A
 A
 I D
 I
 B H C
 B H C
 K
Bài toàn cùng dạng: Cho tam giác ABC , vẽ các tam giác đều ABD , ACE ( E,D nàm phía ngoài 
tam giác ABC ). I,P lần lượt là trung điểm của AD và CE . Điểm F nằm trên BC sao cho 
BF = 3FC . Tính góc FPI .
Dạng 3: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
I. Phương pháp giải: Vẽ thêm đường phụ.
II. Bài toán:
Bài toán 10. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , B· AM = 300 , M· AC = 150 . Tính góc 
 BCA .
Phân tích: 
Khi đọc kĩ bài toán ta thấy B· AC 300 , M· AC 150 , BM MC kết hợp với hình vẽ ta biết được bài 
toán này có nguồn gốc từ bài toán 3. Mặt khác B· AC 450 , điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam giác 
vuông cân.
Hướng giải: 
 Cách 1:
Hạ CK  AB (Ta chứng minh được tia CB nằm giữa hai tia CK và 
 A
 CA ) S
Ta có AKC vuông cân tại K (vì có B· AC 450 ) KA KC
Vẽ tam giác ASC vuông cân tại S ( K,S khác phía so với AC )
 1
Do BKC vuông tại K KM BC MC KMC cân tại M
 2 B
 · 0
Dễ thấy KAM CSM (c – g – c ) CSM 30 M
 0 0
 ·ASM 60 và S·AM 60 K C
 ASM đều AS SM MA AK
 AKM cân tại A M· KC M· CK 900 750 150
 B· CA 450 150 300
Cách 2:
 A
Lấy D đối xứng với B qua AM BAD cân tại A
 0 0
Mà B· AM 30 (gt ) B· AD 60 ABD đều D
Gọi I là giao điểm của AM và BD I
Ta có DC PMI (vì MB MC và BI ID ) B
Mà MI  BD CD  BD
 M
Mặt khác, xét tam giác ABD có:
 C
 C· AD 150 (gt ), ·ADC 600 900 1500
 D· CA 150 ADC cân tại D AD CD
Mà AD BD ( ABD đều )
Vậy BDC vuông cân tại D B· CD 450 B· CA 450 D· CA 450 150 300 .
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7: GÓC TRONG TAM GIÁC
Bài toán 11: Cho ΔABC, Aµ = 900 , AC = 3AB,D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC . 
Tính A· DB + A· CB .
Hướng giải: B
Kẻ EF  AC sao cho EA ED, EF = AD, E AD
( B và F khác phía so với AC ). A E
Ta có: BAD DEF(c.g.c) D C
 BD FD, B· DF 900 BDF vuông cân tại D
 D· FB 450 và ·ADB D· FE (1)
Trên tia đối của tia AB lấy điểm I sao cho AI 2AB I F
Ta chứng minh được: IBF ACB (c – g – c )
 ·ACB I·BF E· FB (2)
Từ (1)và (2) ·ADB ·ACB D· FE E· FB 450
Nhận xét: Sau khi khi vẽ hình ta dự đoán ·ADB ·ACB 450 lúc đó ta nghĩ đến việc tạo ra một tam 
giác vuông cân làm sao để tổng số đo hai góc cần tìm bằng góc 450 . Ý nghĩ dự đoán ·ADB ·ACB 450 
xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ tam giác ABE vuông cân (E là trung điểm AD). Khi phát hiện 
tổng hai góc bằng 450 chúng ta có thể giải bài toán theo nhiều cách khác nhau.
Bài toán 12: Cho ΔABCvuông cân tại A , M là điểm bất kỳ trên đoạn AC ( M A,C ). Kẻ 
MF  BM,F BC. E là điểm thuộc đoạn BF sao cho EF = FC kẻ EI // AF , I BA . Tính A· IM.
Hướng giải:
Gọi K là giao điểm của IE và AC B
Xét KEC có FA // EK, EF = FC (gt )
 E
 KA AC và Kµ F· AC 
 I F
Mà F· AC ·ABM Kµ ·ABM 
 K
 ABM AKI (g – c – g ) AM AI A M C
 AMI vuông cân tại A ·AIM 450
TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC