Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 CHUYÊN ĐỀ 6- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1) Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN): Cho biểu thức f x xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị 
lớn nhất của f x trên D. Kí hiệu M max f x , nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn.
+ Với mọi x thuộc D thì f x M , M là hằng số.
+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f xo M .
2) Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN): Cho biểu thức f x xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị 
nhỏ nhất của f x trên D, kí hiệu m min f x , nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
+ Với mọi x thuộc D thì f x m , m là hằng số.
+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f xo m .
3) Các kiến thức thường dùng:
1) x2 0 một cách tổng quát f (x) 2k 0 với mọi x, k Z .
 Suy ra f (x) 2k m m ; M f (x) 2k M .
2) x 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 0 .
3) x x . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 0 .
4) x x . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 0 .
5) x y x y . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu.
6) x y x y . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y và y cùng dấu.
7) x y y x ; xy x y .
 x x
8) với (y 0) .
 y y
 a b
9) 2 với a 0, b 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 
 b a
10) a 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 0
4) Phương pháp giải:
 Một trong các phương pháp được sử dụng đối với dạng toán này là phương pháp bất đẳng thức. Cụ thể:
 Cho hàm số f x có tập xác định (D). Ta cần chứng minh:
Bước 1: f x M hoặc f x m .
 Trang 1 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bước 2: Chỉ ra trường hợp x xo (D) sao cho BĐT trở thành đẳng thức.
Bước 3: Kết luận f x Max M hoặc f x Min m khi x xo .
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tìm GTLN-GTNN của biểu thức không chứa mẫu.
I. Phương pháp giải.
Dạng 1: Tìm GTNN của: A f x 2 k hoặc A f x k hoặc A f x k ( k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ) suy ra A k
 Dấu “=” xảy ra khi f x 0 x xo
 Vậy Amin k x xo
 2
Dạng 2: Tìm GTNN của: A f x 2 g x 2 k hoặc A f x g x k hoặc 
 2
 A f x g x k ( k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ); g x 2 0 suy ra A k
 f x 0
 Dấu “=” xảy ra khi x xo
 g x 0
 Vậy Amin k x xo
Dạng 3: Tìm GTLN của: A f x 2 k hoặc A f x k hoặc A f x k ( k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ) suy ra A k
 Dấu “=” xảy ra khi f x 0 x xo
 Vậy Amax k x xo
 2
Dạng 4: Tìm GTNN của: A f x 2 g x 2 k hoặc A f x g x k hoặc 
 2
 A f x g x k ( k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ); g x 2 0 suy ra A k
 f x 0
 Dấu “=” xảy ra khi x xo
 g x 0
 Vậy Amax k x xo
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức A x 1 2 y 2 2 2021.
 Trang 2 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Lời giải: 
Vì x 1 2 0; y 2 2 0 x 1 2 y 2 2 0.
 x 1 2 y 2 2 2021 2021
 A 2021.
 x 1 0 x 1
Dấu “=” xảy ra khi 
 y 2 0 y 2
 x 1
Vậy Amin 2021 khi 
 y 2
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức A x y 2 y 2 10.
Lời giải: 
Vì x y 2 0; y 2 0 x y 2 y 2 0 .
 x y 2 y 2 10 10 .
 A 10.
 x y 0 x 2
Dấu “=” xảy ra khi 
 y 2 0 y 2
 x 2
Vậy Amin 10 khi 
 y 2
Bài 3. Tìm GTLN của biểu thức A 15 x 5 2 .
Lời giải: 
Vì x 5 2 0 15 x 5 2 15 A 15 .
Dấu “=” xảy ra khi x 5 0 x 5 .
Vậy Amax 15 khi x 5.
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức A 2x 5 4 3 .
Lời giải
 5
Với mọi x ta có 2x 5 4 0 2x 5 4 3 3 , và 2x 5 4 0 khi 2x 5 0 hay x .
 2
 5
Vậy GTNN của biểu thức A 2x 5 4 3 là 3 khi x .
 2
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 Trang 3 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 a) A 4 x 1 2 2019 .
 b) B 2021 x 2 2020 2022 .
Lời giải
a) Vì 4 x 1 2 0 x nên 4 x 1 2 2019 2019 . 
Dấu bằng xảy ra khi 4 x 1 2 0 x 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2019 khi x 1.
b) Vì 2021 x 2 2020 0 x 2021 x 2 2020 2022 2022 . Dấu bằng xảy ra khi 
 2021 x 2 2020 0 x 2 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 2022 khi x 2. 
Bài 6. Tìm GTNN của biểu thức C x y 2020 4 y 3 30 25.
Lời giải
Với mọi x; y ta có x y 2020 0 , và x y 2020 0 khi x y 0 hay x y .
Với mọi y ta có y 3 30 0 4. y 3 30 0 , và y 3 30 0 khi y 3 0 hay y 3 .
Do đó với mọi x; y ta có: x y 2020 4 y 3 30 0 x y 2020 4 y 3 30 25 25 hay
 B 25 .
Ta có B 25 khi xảy ra đồng thời x y và y 3 hay x y 3.
Vậy GTNN của biểu thức C x y 2020 4 y 3 30 25 là 25 khi x y 3.
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A x 1 2 y 1 4 10 và B x 2 2n 4 y 1 4n 100, n ¥
Lời giải
 2
 x 1 0 x 2 4
+ Ta có: A x 1 y 1 10 10
 4 
 y 1 y
 2
 x 1 0 x 1
Dấu bằng xảy ra khi .
 4 y 1
 y 1 0
 x 1
Vậy giá trị nhỏ nhất A 10 khi 
 y 1
 Trang 4 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 2n
 x 2 0 x 2n 4n
+ Ta có: x 2 4 y 1 100 100
 4n 
 4 y 1 0 y
 2n
 x 2 0 x 2
Dấu bằng xảy ra khi .
 4n y 1
 4 y 1 0
 x 2
Vậy giá trị nhỏ nhất B 100 khi . 
 y 1
Bài 8. Tìm GTLN của biểu thức B 2 x 1 4 y 2 6 3.
Lời giải
Ta có: B 2 x 1 4 y 2 6 3 3 2 x 1 4 y 2 6 
Với mọi x ta có x 1 4 0 2 x 1 4 0 , và x 1 4 0 khi x 1 0 hay x 1.
Với mọi y ta có y 2 6 0 , và y 2 6 0 khi y 2 0 hay y 2 .
Do đó với mọi x; y ta có: 
 4 6 4 6 4 6
2 x 1 y 2 0 2 x 1 y 2 0 2 x 1 y 2 3 3 hay B 3 .
Vậy GTLN của biểu thức B 2 x 1 4 y 2 6 3 là 3 khi x 1và y 2 .
Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x x 1 x 30. 
Lời giải
Ta có: A x. x 1 1. x 1 29 x 1 x 1 29 x 1 2 29 .
+ Vì x 1 2 0 x nên x 1 2 29 29 . 
Dấu bằng xảy ra khi x 1 2 0 x 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 29 khi x 1.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B x x 2 2x 100 . 
Lời giải
Ta có: B x x 2 2 x 2 4 100 x 2 x 2 104 x 2 2 104 .
+ Vì x 2 2 0 x nên x 2 2 104 104. 
Dấu bằng xảy ra khi x 2 2 0 x 2 .
 Trang 5 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C bằng 104 khi x 2.
Dạng 2. Tìm GTLN-GTNN của biểu thức chứa mẫu.
I. Phương pháp giải.
 n 2
Dạng 1: Tìm GTNN hoặc GTNN của: P với A f x k hoặc A f x k hoặc 
 A
 A f x k ( n;k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ) suy ra A k
 n n
 Đến đây tùy theo dấu của n và k ta chứng minh được P hoặc P 
 k k
 Dấu “=” xảy ra khi f x 0 x xo
 n n
 Vậy A x x hoặc A x x
 min k o max k o
 n 2 2 2
Dạng 2: Tìm GTNN hoặc GTNN của: P với A f x g x k hoặc A f x g x k 
 A
 2
hoặc A f x g x k ( k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ); g x 2 0 suy ra A k
 n n
 Đến đây tùy theo dấu của n và k ta chứng minh được P hoặc P 
 k k
 f x 0
 Dấu “=” xảy ra khi x xo
 g x 0
 n n
 Vậy A x x hoặc A x x
 min k o max k o
 n 2
Dạng 3: Tìm GTNN hoặc GTNN của: P với A f x k hoặc A f x k hoặc 
 A
 A f x k ( k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ) suy ra A k
 n n
 Đến đây tùy theo dấu của n và k ta chứng minh được P hoặc P 
 k k
 Dấu “=” xảy ra khi f x 0 x xo
 n n
 Vậy A x x hoặc A x x
 min k o max k o
 Trang 6 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 n 2 2 2
Dạng 4: Tìm GTNN hoặc GTNN của: P với A f x g x k hoặc A f x g x k 
 A
 2
hoặc A f x g x k ( k là hằng số)
Cách giải: Vì f x 2 0 (hoặc f x 0; f x 0 ); g x 2 0 suy ra A k
 n n
 Đến đây tùy theo dấu của n và k ta chứng minh được P hoặc P 
 k k
 f x 0
 Dấu “=” xảy ra khi x xo
 g x 0
 n n
 Vậy A x x hoặc A x x
 min k o max k o
II. Bài toán.
 18
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức A 
 3 x 5 2
Lời giải: 
Vì x 5 2 0 3 x 5 2 3
 18 18
 6 A 6
 3 x 5 2 3
Dấu “=” xảy ra khi x 5 0 x 5
Vậy Amin 6 khi x 5
 2020
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức B 
 5 2x 3y 2 xy 24
Lời giải: 
Vì 2x 3y 2 0; xy 24 0 2x 3y 2 xy 24 0
 2020 2020
 5 2x 3y 2 xy 24 5 404
 5 2x 3y 2 xy 24 5
 B 404
 2x 3y 0 1 
Dấu “=” xảy ra khi 
 xy 24 0 2 
 x y
Từ 1 2x 3y 
 3 2
 x y x 3k
Đặt k 
 3 2 y 2k
 Trang 7 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Mà xy 24 0 3k.2k 24 0 6k2 24 k2 4 k 2
 x 6 x 6
 hoặc 
 y 4 y 4
 x 6 x 6
Vậy Bmax 404 khi hoặc 
 y 4 y 4
 60
Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức C 
 12 9 x 2 2
Lời giải: 
 Tìm GTNN
Vì x 2 2 0 9 x 2 2 9 9 x 2 2 9 3
 12 9 x 2 2 12 3 15
 60 60
 4 C 4
 12 9 x 2 2 15
Dấu “=” xảy ra khi x 2 0 x 2
Vậy Cmin 4 khi x 2
 Tìm GTLN
 60 60
VÌ 9 x 2 2 0 12 9 x 2 2 12 5 C 5 
 12 9 x 2 2 12
 2 2 x 2 3 x 1
Dấu “=” xảy ra khi 9 x 2 0 x 2 9 
 x 2 3 x 5
Vậy Cmax 5 khi x 1, 5
Bài 4. Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau:
 2020 a2020 2021
a) A . b) B .
 x 2 2 x y 2 5 a2020 2019
Lời giải
 2020
a) A .
 x 2 2 x y 20 5
 2020
Do tử là 2020 0 nên A đạt GTNN khi x 2 2 x y 20 5 0 và đạt 
 x 2 2 x y 20 5
GTNN.
 Trang 8 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Với mọi x ta có x 2 2 0 và x 2 2 0 khi x 2 0 hay x 2 .
Với mọi x; y ta có x y 20 0 và x y 20 0 khi x y 0 hay x y .
Suy ra x 2 2 x y 20 0 x 2 2 x y 20 5 5 .
Do đó GTNN của x 2 2 x y 20 5 là 5 khi x 2 và x y hay x y 2 .
 2020 2020
Vậy GTNN của biểu thức A là 404 khi x y 2 .
 x 2 2 x y 2 5 5
 a2020 2021
b) B 
 a2020 2019
 a2020 2021 a2020 2019 2 2
Ta có: B 1 .
 a2020 2019 a2020 2019 a2020 2019
 a2020 2021 2
Biểu thức B đạt GTLN khi đạt GTLN.
 a2020 2019 a2020 2019
 2
Mặt khác, do tử là 2 0 nên đạt GTLN khi a2020 2019 0 và đạt GTNN.
 a2020 2019
Với mọi a ta có: a2020 0 a2020 2019 2019 .
Suy ra GTNN của a2020 2019 là 2019 khi a 0 .
 a2020 2021 2 2021
Vậy GTLN của biểu thức B là 1 khi a 0 .
 a2020 2019 2019 2019
Bài 5. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
 2
 4 x 2 2019 a4 1
a) M . b) N . c) P .
 4 2
 x 2y 4 x 2 2 2020 2a4 5
Lời giải
 4
a) M 
 x4 2y2 4
 4 4 4
Do M , nên M đạt GTNN khi đạt GTLN.
 x4 2y2 4 x4 2y2 4 x4 2y2 4
 4
Mặt khác, tử là 4 0 nên đạt GTLN khi x4 2y2 4 0 và đạt GTNN.
 x4 2y2 4
Với mọi x , ta có x4 0 và x4 0 khi x 0 .
 Trang 9 TÊN CHUYÊN ĐỀ. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Với mọi y , ta có y2 0 2y2 0 và y2 0 khi y 0.
Do đó với mọi x, y thì x4 2y2 0 x4 2y2 4 4 .
Từ đó ta có GTNN của x4 2y2 4là 4 .khi x 0 và y 0.
 4 4
Vậy GTNN của biểu thức M là 1 khi x y 0 .
 x4 2y2 4 4
 x 2 2 2019
b) N 
 x 2 2 2020
 2 2
 x 2 2019 x 2 2020 1 1
Ta có: N 1 
 x 2 2 2020 x 2 2 2020 x 2 2 2020
 1
Biểu thức N đạt GTNN khi đạt GTLN.
 x 2 2 2020
 1
Mặt khác, tử là 1 0 nên đạt GTLN khi x 2 2 2020 0 và đạt GTNN.
 x 2 2 2020
Với mọi x , ta có x 2 2 0 x 2 2 2020 2020.
Từ đó ta có GTNN của x 2 2 2020 là 2020 khi x 2 0 hay x 2 .
 2
 x 2 2019 1 2019
Vậy GTNN của biểu thức N là 1 khi x 2 .
 x 2 2 2020 2020 2020
 a4 1
c) P 
 2a4 5
 4 4
 2 a 1 2a4 2 2a 5 7 1 7 1
Ta có: P . .
 2 2a4 5 2 2a4 5 2 2a4 5 2 2 2a4 5
 1
Biểu thức P đạt GTNN khi đạt GTLN.
 2a4 5
 1
Mặt khác , do tử là 1 0 nên đạt GTLN khi 2a4 5 0 và đạt GTNN.
 2a4 5
Với mọi a ta có: a4 0 2a4 0 2a4 5 5 .
Do đó, GTNN của 2a4 5 là 5khi a4 0hay a 0 .
 Trang 10