Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 8: Phương trình nghiệm nguyên

 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
* Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng chú ý một số tính chất sau:
1. Định nghĩa phép chia hết:
 a,b ¢ (b 0 )  q,r ¢ sao cho a bq r với 0 r b
 Nếu r 0 ab
 Nếu r 0 a  b
2. Một số tính chất: a,b,c,d ¢
 Nếu a 0 thì aa và 0a
 Nếu ab và bc ac
 Nếu ab và ba a b
 Nếu ab và ac a BCNN b,c
 Nếu ab , ac và b,c 1 a b.c 
 Nếu ab ac  b ( c ¢ )
3. Một số định lí thường dùng.
 Nếu ac và bc (a b)c
 Nếu ac và bd abcd
 Nếu ab an bn ( n nguyên dương)
- Một số hệ quả áp dụng:
 +  a,b ¢ và n nguyên dương ta có an bn  a – b 
 + a,b ¢ và n chẵn ( n nguyên dương) ta có an bn  a + b 
 + a,b ¢ và n lẻ ( n nguyên dương) ta có an bn  a +b 
4. Các dấu hiệu chia hết cho 2,3,5,8,9,11....
5. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
6. Phương trình được đưa về dạng f x .g x k với f x và g x là các đa thức hệ số nguyên. Ta 
phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.
 f (x) m
 với m.n k.
 g(x) n
7. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương 
 Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 . 
 Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2 . 
 Số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 
 Trang 1 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 Số chính phương chia cho5, cho 8thì số dư chỉ có thể là 0; 1hoặc 4 . 
 Số chính phương lẻ chia cho 4 hoặc 8 thì số dư đều là1. 
 Lập phương của một số nguyên chia cho 9 chỉ có thể dư 0; 1hoặc8. 
 Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
-Ngoài ra: Cho ab c2 a,b,c Z 
+Nếu a, b là hai số nguyên liên tiếp thì a 0 hoặc b 0.
+Nếu a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì a n2 ,b m2 m,n N 
*Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất trên để tìm ra điểm đặc 
biệt của ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, sau đó đưa phương trình về các 
dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về phương trình đơn giản hơn
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Đưa về phương trình ước số
I.Phương pháp giải.
 +Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị 
nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
 + Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: A(x; y).B(x; y) c trong đó A(x; y), B(x; y) là các 
biểu thức nguyên, c là một số nguyên.
 +Xét các trường hợp A(x; y), B(x; y) theo ước của c .
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm x, y Z biết: xy 2x y 5
 Lời giải
 Ta có: xy 2x y 5 x(y 2) (y 2) 3 (x 1)(y 2) 3 (*) 
 Vì x, y ¢ là các số nguyên nên x 1, y 2 ¢ . Do đó từ (*) ta có bảng sau: 
 y + 2 3 1 -1 -3
 x - 1 1 3 -3 -1
 x 2 4 -2 0
 y 1 -1 -3 -5
 Vậy x; y 2;1 ; 4; 1 ; 2; 3 0; 5 
Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x 2xy y 0. 
 Lời giải
 x 2xy y 0. (*)
 2x 4xy 2y 0 
 2x 1 – 2 y (1 2y) 1 
 1 – 2y 2x –1 1 
 Vì x, y ¢ là các số nguyên nên 2x 1,1 2y Z . Do đó từ (*) ta có bảng sau: 
 Trang 2 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 Ta có bảng:
 2 x -1 1 -1
 1 – 2y 1 -1
 x 1 0
 y 0 -1
 Vậy x; y 1;0 ; 0; 1 
Bài 3. Tìm x, y nguyên biết: xy 3x – y 6 
 Lời giải
 Ta có: 
 xy 3x – y 6 x y 3 – y 3 6 – 3 
 x – 1 y 3 3 1.3 3.1 – 1 – 3 – 3 – 1 
 Vì x, y ¢ là các số nguyên nên 2x 1,1 2y Z . Do đó từ (*) ta có bảng sau: 
 x – 1 1 3 – 1 – 3
 y + 3 3 1 – 3 – 1
 x 2 4 0 – 2
 y 0 – 2 – 6 – 4
 Vậy: x; y 2; 0 , 4; – 2 , 0; 6 , – 2; – 4 
Bài 4. Tìm x, y nguyên biết: 
2xy x y 2
 Lời giải
 Ta có: 
 2xy x y 2 
 4xy 2x 2y 4
 2x 2y 1 2y 1 5
 2y 1 2x 1 5
 Xét 4 trường hợp tìm ra x, y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 0; 2 
 Vậy x, y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 0; 2 
Bài 5. Tìm các số nguyên x, y biết: xy 2x 3y 21 
 Lời giải
 Ta có :
 xy 2x 3y 21
 x y 2 3 y 2 15
 (x 3). y 2 15
 Vì x,y nguyên dương nên x 3 nguyên dương và x 3 4
 Vì x 3 . y 2 15
 x 3 5;15 x 2;12 y 2 3;1 y 5;3
 Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là x ; y 2 ;5 ; 12;3 
Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho x xy y 0
 Trang 3 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 Lời giải
Ta có:
 x xy y 0
 x(1 y) y 0
 (1 y) x(1 y) 1
 (1 x)(1 y) 1 1.1 ( 1).( 1) .
 Vì x, y Z là các số nguyên nên 1 x,1 y Z . Do đó ta có bảng sau:
 1-x 1 -1
 1-y 1 -1
 x 0 2
 y 0 2
 Vậy x, y 0;0 ; 2;2 
Bài 7. Tìm các số nguyên x, y biết x 2xy y 3 0
 Lời giải
 Ta có : x 2xy y 3 0
 2x 4xy 2y 6 0 2x 4xy 2y 1 5
 2x(1 2y) (1 2y) 5 (2x 1)(1 2y) 5
 Vì x, y ¢ là các số nguyên nên 2x 1,1 2y Z . Do đó ta có bảng sau:
 2x 1 1 5 -1 -5
 1 2y 5 1 -5 -1
 x 1 3 0 -2
 y -2 0 3 1
 Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa 
 mãn mãn mãn mãn
 Vậy x, y 1; 2 ; 3;0 ; 0;3 ; 2;1 
Bài 8. Tìm nghiệm nguyên của đa thức 7x2 35x 42 0
 Lời giải
 Ta có:
 7x2 35x 42 7(x 3)(x 2) 0
 x 3
 x 2
 Vậy x 2;3 
Bài 9. Tìm x, y Z thỏa mãn x xy y 9
 Lời giải
 Từ x xy y 9 x(x 1) (y 1) 10 (y 1)(x 1) 10 . Vì x, y Z là các số nguyên 
 nên x 1,1 y Z , do đó ta có bảng sau
 Trang 4 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 x 1 -1 1 -2 2 -5 5 -10 10
 x -2 0 -3 1 -6 4 -11 9
 y 1 -10 10 -5 5 -2 2 -1 1
 y -11 9 -6 4 -3 1 -2 0
Vậy x, y 2; 11 ; 0;9 ; 3; 6 ; 1;4 ; 6; 3 ; 4;1 ; 11; 2 ; 9;0 
Bài 10. Tìm x, y nguyên biết: xy 3x y 6
 Lời giải
 Ta có: xy 3x y 6 x(y 3) (y 3) 6 3
 (x 1)(y 3) 3 1.3 3.1 ( 1).( 3) ( 3).( 1)
 Vì x, y Z là các số nguyên nên x 1, y 3 Z . Ta có bảng sau:
 x 1 1 3 1 3
 y 3 3 1 3 1
 x 2 4 0 2
 y 0 2 6 4
 Vậy x, y 2;0 ; 4; 2 ; 0;6 ; 2; 4 
Bài 11. Tìm x, y ¢ biết: xy 2x y 7
 Lời giải
 Ta có: 
 xy 2x y 7 x(y 2) (y 2) 5 . 
 (x 1)(y 2) 5 5.1 1.5 ( 1).( 5) ( 5).( 1) . Vì x, y Z là các số nguyên nên 
 x 1, y 2 Z nên ta có bảng sau
 y 2 5 1 -1 -5
 x 1 1 5 -5 -1
 x 2 6 -4 0
 y 3 -1 -3 -7
 Vậy x, y 2;3 ; 6; 1 ; 4; 3 ; 0; 7 
Bài 12. Tìm x, y nguyên biết 2xy x y 2
 Lời giải
2xy x y 2 4xy 2x 2y 4
 2x 2y 1 2y 1 5
 2y 1 2x 1 5. Vì x, y Z là các số nguyên nên xét 4 trường hợp tìm ra 
 x, y 1;3 ; 3;1 2;0 ; 0; 2 
 Vậy x, y 1;3 ; 3;1 2;0 ; 0; 2 
 Trang 5 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
Bài 13. Tìm các số nguyên x,y biết: x – 2xy y – 3 0.
 Lời giải
 Ta có:
 x – 2xy y – 3 0. 
 2x – 4xy 2y – 6 0 2x – 4xy 2y – 1 5
 2x 1 – 2y – 1 – 2y 5 2x – 1 1 – 2y 5. Vì x, y Z là các số nguyên 
 nên 2x 1,1 2y Z nên ta có bảng sau
 2x – 1 1 5 -1 -5
 1 – 2y 5 1 -5 -1
 x 1 3 0 -2
 y -2 0 3 1
 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
 Vậy x, y 1; 2 ; 3;0 0;3 ; 2;1 
Bài 14. Tìm tất cả các cặp số nguyên x,y sao cho: 2xy x 2y 4
 Lời giải
Ta có:
 2xy x 2y 4 x(2y 1) (2y 1) 3 (x 1)(2y 1) 3
 (x 1)(2y 1) 3 1.3 ( 1).( 3) 3.1 ( 3).( 1) . Vì x, y Z là các số nguyên nên 
 2x 1,1 2y ¢ nên ta có bảng sau
 x 1 1 -1 3 -3
 x 2 0 4 -2
 2y 1 3 -3 1 -1
 y 1 -2 0 -1
 Vậy x, y 2;0 ; 0; 2 4;0 ; 2;1 
Bài 15. Tìm cặp số nguyên x,y thoả mãn x y xy 2
 Lời giải
 Ta có x y xy 2  x 1 y x 1 3
 x 1 y 1 3
 Do x, y nguyên nên x 1và y 1phải là ước của 3. Lập bảng ta có:
 x 1 1 3 -1 -3
 y 1 3 1 -3 -1
 x 0 2 -2 -4
 y 2 0 -4 -2
 Trang 6 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
Vậy x, y 0,2 ; 2,0 ; 2, 4 ; 4, 2  
Bài 16. Tìm số nguyên x,y sao cho x 2xy y 0
 Lời giải
 Từ : x 2xy y 0 1 2y 2x 1 1 
 Vì x,y là các số nguyên nên 1 2y và 2x 1 là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau 
 1 2y 1 x 0
 : 
 2x 1 1 y 0
 1 2y 1 x 1
 Hoặc 
 2x 1 1 y 1
 Vậy x, y 1;1 
Bài 17. Tìm x, y ¢ biết: x y 2xy 83
 Lời giải
 2x 1 2y 1 167
 x, y 0; 83 ; 1; 84 ; 83; 0 ; 84; 1  
Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x và y biết:: x2 – y2 5 
 Lời giải
 Ta có: x2 – y2 x y x y 5 
 Vì x, y ¢ là các số nguyên nên 2x 1,1 2y Z nên ta có bảng sau
 x + y 5 -5 1 -1
 x - y 1 -1 5 -5
 x 3 -3 3 -3
 y 2 -2 -2 2
 Vậy x, y 3; 2 ; 3; 2 ; 3; -2 ; 3; 2  
Bài 19. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz
 Lời giải
 Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử 1 x y z
 1 1 1 1 1 1 3
 Theo bài ra 1 x2 3 x 1
 yz yx zx x2 x2 x2 x2
 Thay vào đầu bài ta có: 1 y z yz y yz 1 z 0
 y 1 z 1 z 2 0
 (y 1) z 1 2
 Th1: y 1 1 y 2 và z 1 2 z 3
 Th1: y 1 2 y 3và z 1 1 z 2 z 1 1 z 2
Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn 1;2;3 ; 1;3;2 
Bài 20. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2014x 2015y 2016 0
 Lời giải
 x2 xy 2014x 2015y 2016 0
 Trang 7 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 x2 xy x 2015x 2015y 2015 1
 x(x y 1) 2015(x y 1) 1
 x y 1 1 x y 1 1
 (x y 1)(x 2015) 1 hoặc 
 x 2015 1 x 2015 1
 x y 1 1 x 2016
 TH 1: x 2015 1 y 2016
 x y 1 1 x 2014
 TH2: 
 x 2015 1 y 2016
 Vậy x, y 2016; 2016 hoặc x, y 2014; 2016 .
 x 1
Bài 21. Tìm các cặp số nguyên ( x,y ) thỏa mãn: 1 
 5 y 1
 Lời giải
 x 1 z 5 1
 1 x 5 y 1 5
 5 y 1 5 y 1
 Do x, y ¢ nên x 5 , y 1cũng là các số nguyên và là ước của 5 mà Ư(5)= 1; 5
 Ta có bảng giá trị tương ứng sau
 x+5 -5 -1 1 5
 y-1 -1 -5 5 1
 x -10 -6 -4 0
 y 0 -4 6 2
 Vậy các cặp số nguyên cần tìm là : x, y 4; 6 ; 0;2 ; 6; 4 ; 10; 0  
Bài 22. Tìm các số x, y nguyên, biết. x x 1 x 2 x 3 y2
 Lời giải
 x2 3x x2 3x 2 y2 
 Đặt x2 3x a ta được
 a a 2 y2
 a2 2a y2
 a2 2a 1 y2 1
 a 1 y a 1 y 1
 Do x, y nguyên nên a 1 y ; a 1 y là các số nguyên và là ước của 1 nên ta có các trường hợp 
sau:
 a 1 y 1 a y 0 a 0
 Trường hợp 1: 
 a 1 y 1 a y 0 y 0
 2 x 0
 Với a 0 ta được x 3x 0 x x 3 0 
 x 3
 a 1 y 1 a y 2 a 2
 Trường hợp 2: 
 a 1 y 1 a y 2 y 0
 Trang 8 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 2 2 x 1
 Với a 2 ta được x 3x 2 x 3x 2 0 x 1 x 2 0 
 x 2
 Vậy các cặp số x; y thỏa mãn là 0;0 ; 3;0 ; 1;0 ; 2;0 
Bài 23. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 2xy2 x y 1 x2 2y2 xy
 Lời giải
 2xy2 x y 1 x2 2y2 xy
 2xy2 2y2 x x2 y xy 1 0
 2xy2 2y2 xy y x2 x 1
 2y2 x 1 y x 1 x x 1 1
 x 1 2y2 y x 1
 Do x, y nguyên nên x 1 ; 2y2 y x là các số nguyên và là ước của 1 nên ta có các trường hợp 
sau:
 x 1 1 x 2 x 2
 Trường hợp 1: 
 2 2 
 2y y x 1 2y y 1 y 2y 1 1
 Với y 2y 1 1 ta được y 1
 x 1 1 x 0 x 0
 Trường hợp 2: 
 2 2 
 2y y x 1 2y y 1 y 2y 1 1
 Với y 2y 1 1 ta được y 1
 Vậy các cặp số x; y thỏa mãn là 2;1 ; 0;1 
Bài 24: Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 2x2 3xy 2y2 7
 Lời giải
 2x2 3xy 2y2 7 2x2 4xy xy 2y2 7
 2x x 2y y x 2y 7 2x y x 2y 7
 Do x,y Z nên 2x y , x 2y cũng là các số nguyên và là ước của 7 mà Ư(7)= 1; 7
 nên ta có các trường hợp sau:
 2x y 1 1 
 Trường hợp 1: 
 x 2y 7 2 
 Từ (1) y 2x 1
 Thay y 2x 1 vào (2) x 2 2x 1 7 x 4x 2 7 5x 9 x 1,8(loại)
 Với x 1 y 1 2.1 3 ta có:Với y 2y 1 1 ta được y 1
 2x y 1 3 
 Trường hợp 2: 
 x 2y 7 4 
 Từ (3) y 2x 1
 Thay y 2x 1vào(4) x 2 2x 1 7 x 4x 2 7 5x 9 x 1,8(loại)
 2x y 7 5 
 Trường hợp 3: 
 x 2y 1 6 
 Từ (5) y 2x 7
 Thay y 2x 7 vào(4) x 2 2x 7 1 x 4x 14 1 5x 15 x 3 (t/m)
 Trang 9 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 Với x 3 y 2.3 7 1 
 2x y 7 7 
 Trường hợp 4: 
 x 2y 1 8 
 Từ (7) y 2x 7
 Thay y 2x 7 vào(8) x 2 2x 7 1 x 4x 14 1 5x 15 x 3 (t/m)
 Với x 3 y 2. 3 7 1 
 Vậy các cặp số x; y thỏa mãn là 3; 1 ; 3;1 
Bài 25. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 3x2 xy 2y2 2
 Lời giải
 3x2 xy 2y2 2 3x2 3xy 2xy 2y2 2
 3x x y 2y x y 2 3x 2y x y 2
 Do x,y Z nên 3x 2y , x y cũng là các số nguyên và là ước của 2 mà Ư(2)= 1; 2
 nên ta có các trường hợp sau:
 3x 2y 1 1 
 Trường hợp 1: 
 x y 2 2 
 Từ (2) y 2 x
 Thay y 2 x vào (1) 3x 2 2 x 1 3x 4 2x 1 5x 5 x 1(t/m)
 Với x 1 y 2. 1 1
 3x 2y 1 3 
 Trường hợp 2: 
 x y 2 4 
 Từ (4) y 2 x
 Thay y 2 x vào(3):3x 2 2 x 1 3x 4 2x 1 5x 5 x 1t/m)
 Với x 1 y 2. ( 1) 1
 3x 2y 2 5 
 Trường hợp 3: 
 x y 1 6 
 Từ (6) y 1 x
 3
 Thay y 1 x vào (5) 3x 2 1 x 2 3x 2 2x 1 5x 3 x (loại)
 5
 3x 2y 2 7 
 Trường hợp 4: 
 x y 1 (8)
 Từ (8) y 1 x
 3
 Thay y 1 x vào (7) 3x 2 1 x 2 3x 2 2x 1 5x 3 x (loại)
 5
 Vậy các cặp số x; y thỏa mãn là 1;1 ; 1; 1 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 26. Tìm các số x, y nguyên, biết. x x 1 x 7 x 8 y2
 HD: x2 8x x2 8x 7 y2 a a 7 y2
Bài 27. Tìm các số x, y nguyên, biết. 6x2 y3 3x2 10y3 2
 Trang 10