Giáo án dạy thêm môn Toán - Chuyên đề : Lũy thừa số hữu tỉ

1 
CHUYấN ĐỀ VỀ LŨY THỪA SỐ HỮU TỈ 
 1. CƠ Sở Lý THUYếT 
a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên 
 an =  aaa .......... (n N
*) 
 n thừa số 
 b. Một số tính chất : 
 Với a, b, m, n N 
 am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p N) 
 am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) 
 (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) 
 (am)n = am.n (m,n ≠ 0) 
 Quy ước: 
 a1 = a 
 a0 = 1 (a ≠ 0) 
 Với : x, y Q; m, n N; a, b Z 
xn =  xxx .......... (x N
*) 
 n thừa số 
n
nn
b
a
b
a
 (b ≠ 0, n ≠ 0) 
xo = 1 
xm . xn = xm+n 
nm
n
m
x
x
x (x ≠ 0) 
x-n = 
nx
1
 (x ≠ 0) 
 (xm)n = xm.n 
 (x.y)m = xm. ym 
n
nn
y
x
y
x
 (y ≠ 0) 
c. Kiến thức bổ sung 
 * Với mọi x, y, z Q: 
2 
 x x + z < y + z 
 Với z > 0 thì: x x . z < y . z 
 z x . z > y . z 
 * Với x Q, n N: 
 (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 
 * Với a, b Q; 
 a > b > 0 => an > bn 
 a > b a2n +1 > b2n + 1 
 a > 1 , m > n > 0 => am > an 
 0 n > 0 => am > an 
 2. Các dạng bài tập 
 1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 
 2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa 
 *Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ 
 Bài 1: Tìm x biết rằng: 
 a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8 
 c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = 9 
 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm 
được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp. 
 a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8 
x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3 
 x = -3 => 2x – 1 = - 2 
Vậy x = - 3 2x = -2 + 1 
 2x = - 1 
 => x = 
2
1 
 Vậy x = 
2
1 
 c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 
 => 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3 
 2x = 6 2x = 0 
 x = 3 x = 0 
 Vậy x = 3 hoặc x = 0 . 
 d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 
 => x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4 
 x = -2 x = 6 
3 
 Vậy x = -2 hoặc x = 6 
 Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5 
 Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn , 
lúng túng : hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết , số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm 
cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ ‘’ tìm mò ằ được x = o hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không 
thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? 
 Giáo viên có thể gợi ý : 
 x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 => 
01
0
3
2
x
x
 => 
1
0
3x
x
 => 
1
0
x
x
 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau : 
 Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) 
 Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20 
 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : 
01
0
10
10
x
x
 => 
1
0
10x
x
 => 
1
1
0
x
x
x
 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây , vì đã tìm được x .Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải 
thay trở lại điều kiện đặt để tìm y . 
 +) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 
3
1
 +) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 
3
2
 +) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0 
 Vậy y = 
3
1
 ; 
3
2
 ; 0 
 Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 
 Bài nàyngược với bài trên , hai lũy thừa đã có số mũ -đã biết- giống nhau nhưng cơ số – 
chưa biết – lại khác nhau . Lúc này ta cần sử dụng tính chất : bình phương của hai lũy thờa 
bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau . 
 Ta cố : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – 5 = 1 – 3x hoặc x – 5 = 3x – 1 
 => 4x = 6 2x = -4 
 => x = 
4
6
= 
2
3
 x = -2 
 Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) 
 Với bài toán này , cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau , lại phải tìm hai số x 
và y bên cạnh đó là dấu ‘ ’’ , thật là khó ! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em 
có thể giải quyết được vấn đề : hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0 . 
 Ta thấy : (3x - 5)100 0  x Q 
4 
(2y +1)200 0  x Q 
 => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0 , không thể nhỏ hơn 0 
 Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 
 3x – 5 = 2y + 1 =0 
 => x = 
3
5
 và y =
2
1 
 Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4 
 Theo bài 3 , học sinh sẽ nhận ra ngay : (x + 2)2 0  x Z (1) 
 2(y – 3)2 0  x Z (2) 
 Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 4 ” , học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi ý : 
 Từ (1) và (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4 thì chỉ có thể xảy ra những trường hợp 
sau : 
 +) Trường hợp 1 : (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 0 
 => x = -2 => y = 3 
 +) Trường hợp 2 : (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 1 
 => x = -2 => 
2
4
y
y
 +) Trường hợp 3 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 0 
 => 
12
12
x
x
 => y = 3 
 => 
3
1
x
x
+) Trường hợp 4 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 1 
 => 
3
1
x
x
 => 
2
4
y
y
 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : 
x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 
y 3 4 2 3 3 4 2 4 2 
 Thật là một bài toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp ,bỏ sót những 
cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài . 
 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau : 
 1 . Tìm x biết : 
 a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1 
 c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 
5 
 2 . Tìm y biết : 
 a, y200 = y b, y2008 = y2010 
 c, (2y - 1)50 = 2y – 1 d, (
3
y
-5 )2000 = (
3
y
-5 )2008 
 3 . Tìm a , b ,c biết : 
 a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0 
 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0 
 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0 
 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0 
 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa. 
 Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số 
 Bài 1 : Tìm n N biết : 
 a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024 
 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 
 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a, 
 a, 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0 
 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số 
nhưng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên : 
 b, 5n + 5n+2 = 650 
 5n + 5n.52 = 650 
 5n.(1 + 25) = 650 
 => 5n = 650 : 26 
 5n = 25 = 52 
 => n = 2 
 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d, 
 c, 32-n. 16n = 1024 
 (25)-n. (24)n = 1024 
 2-5n. 24n = 210 
 2-n = 210 
 => n = -10 
 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 
 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162 
 =>6 . 3n-1 = 162 
 3n-1 = 27 = 33 
 => n – 1 = 3 
 n = 4 
 Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 
 2m + 2n = 2m+n 
6 
 Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm như thế nào để tìm được hai 
số mũ m và n . Giáo viên gợi ý : 
 2m + 2n = 2m+n 
 2m+n – 2m – 2n = 0 
 => 2m.2n -2m -2n + 1 = 1 
 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1 
 (2m - 1)( 2n - 1) = 1 (*) 
 Vì 2m 1 , 2n 1  m,n N 
 Nên từ (*) =>
112
112
n
m
 => 
22
22
n
m
 => 
1
1
n
m
 Vậy : m = n = 1 
 Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho : 
 a, 3 < 3n 234 
 b, 8.16 2n 4 
 Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học sinh 
đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số . 
 a, 3 < 3n 234 
 31 < 3n 35 
 => n 5;4;3;2 
 b, 8.16 2n 4 
 23.24 2n 22 
 27 2n 22 
 => n 7;6;5;4;3;2 
 Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng : 
 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 
 Với bài này , giáo viên gợi ý học sinh quan sát , nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một 
tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán : 
 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 
 (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 
 3615 < 6n < 3616 
 630 < 6n < 632 
=> n = 31 
 Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các 
bài toán dạng tương tự. 
 1. Tìm các số nguyên n sao cho 
7 
 a. 9 . 27n = 35 b. (23 : 4) . 2n = 4 
 c. 3-2. 34. 3n = 37 d. 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 
 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho : 
 a. 125.5 5n 5.25 b. (n54)2 = n 
 c. 243 3n 9.27 d. 2n+3 2n =144 
 3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng 
 a. 2x+1 . 3y = 12x b. 10x : 5y = 20y 
 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng 
 a. 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 
 b. n2
22
666666
.
333
4444
55
555555
555
5555
 Hướng dẫn: 
 3. a. 2x+1 . 3y = 12x 
 2x+1 . 3y = 22x.3x 
 => 
1
2
2
2
3
3
x
x
x
y
 3y-x = 2x+1 
 => y-x = x-1 = 0 
 Hay x = y = 1 
 b. 10x : 5y = 20y 
 10x = 20y . 5y 
 10x = 100y 
 10x = 1002y 
 => x = 2y 
 4 b. n2
22
666666
.
333
4444
55
555555
555
5555
 n2
2.2
6.6
.
3.3
4.4
5
5
5
5
 n2
2
6
.
3
4
6
6
6
6
 => 46 = 2n => 212 = 2n => n = 12 
3.1.3. Một số trường hợp khác 
 Bài 1: Tìm x biết: 
 (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) 
 Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và 
cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải . Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen 
8 
thuộc bằng một phép biến đổi sau : 
 Đặt x-1 = y ta có: x + 2 = y + 3 
 x + 4 = y + 5 
 Khi đó (1) trở thành : yy+3 = yy+5 
 yy+5 - yy+3 = 0 
 yy+3(y2 – 1) = 0 
 => yy+3 = 0 hoặc y2 – 1 = 0. 
 * Nếu: yy+3 = 0 => y = 0 
 Khi đó : x – 1 = 0 hay x = 1. 
 * Nếu : y2 – 1 = 0 
 => y2 = (1)2 => y = 1 hoặc y = -1 
 Với y = 1 ta có : x – 1 = 1 hay x = 2 
 Với y = -1 ta có : x – 1 = -1 hay x = 0 
 Vậy : x 2;1;0 
 Bài 2 : Tìm x biết : 
 x(6-x)2003 = (6-x)2003 
 Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài 
trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn. 
x. (6-x)2003 = (6-x)2003 
x. (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0 
 (6-x)2003 (x-1) = 0 
 => (6-x)2003 = 0 hoặc (x-1) = 0 
 * Nếu (6-x)2003 = 0 => (6-x) = 0 
 x = 6 
 * Nếu (x-1) = 0 => x = 1 
 Vậy : x 6;1 
 Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết : 
 a. 2a + 124 = 5b 
 b. 10a + 168 = b2 
 Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc 
không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào? Ta cần dựa vào tính chất 
đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này : 
 a) 2a + 124 = 5b (1) 
 * Xét a = 0, khi đó (1) trở thành 
 20 + 124 = 5b 
9 
 Hay 5b = 125 
 5b = 53 
 Do đó a= 0 và b = 3 
 * Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với mọi 
 a 1 , a,b N, điều này vô lý. 
 Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 3. 
 b) 10a + 168 = b2 (2) 
 Tương tự câu a 
 * Xét a = 0, khi đó (2) trở thành 
 100 + 168 = b2 
 169 = b2 
 (13)2 = b2 => b = 13 (vì b N) 
 Do đó a = 0 và b = 13. 
 * Xét a 1. 
 Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a 1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra 
10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b2 có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý. 
 Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 13. 
 Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau : 
 Tìm các số tự nhiên a , b để : 
 a. 3a + 9b = 183 
 b. 5a + 323 = b2 
 c. 2a + 342 = 7b 
 d. 2a + 80 = 3b 
3.2. Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa 
3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng 
 * Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau : 
 +) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có 
chữ số tận cùng là chính những số đó . 
 +) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một 
trong các chữ số đó . 
 +) Lưu ý : những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng 
là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4 . 
 những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng 
là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9 
 +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 
10 
 Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 . 
 Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án : 
 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0 
 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1 
 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5 
 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. 
 Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau : 
 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 
999 , 4
765 ,996, 81975 , 20072007 , 10231024. 
 Hướng dẫn : Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 
5 ; 6 . 
 +) 20072008 = (20074)502 = ( 1...... )502 = 1...... nên 20072008 chữ số tận cùng là 1 . 
 +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1...... . 1357 = 7...... 
 =>13 5725 có chữ số tận cùng là 7 . 
 +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501. 3...... = ( 1...... )501. 3...... = = 1...... . 3...... 
=> 20072007 có chữ số tận cùng là 3 . 
 +) 23456 = (24)864 = 16864 = 6...... => 23456 có chữ số tận cùng là 6 . 
 +) 5235 = 5232. 523 = (524)8. 8...... = ( 6...... )8 . 8...... = 6...... . 8...... = 8...... 
 => 5235 có chữ số tận cùng là 8 . 
 +) 10231024 = (10234)256 = ( 1...... )256 = 1...... =>10231024 có chữ số tận cùng là 1 . 
 +) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( 1...... )501. 2003 = 1...... . 2003 
 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3 . 
 +) 204208 =( 2042)104 = ( 6...... )104 = 6...... => 204208 có chữ số tận cùng là 6. 
 +) Ta thấy 
765 là một số lẻ nên 
7654 có chữ số tận cùng là 4 
 +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( 6...... )502 = 6...... => 1358 2008 có chữ số tận cùng là 6. 
 +) 81975 = 81972. 83 = (84)493. 2...... = 6...... 2...... => 81975 có chữ số tận cùng là 2 . 
 +) 996 = ( 94)24 =( 1...... )24 = 1...... => 996 có chữ số tận cùng là 1 . 
 +) Ta thấy 99 là một số lẻ nên 
999 có chữ số tận cùng là 9 . 
 Bài 3 : Cho A = 172008 – 112008 – 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A . 
 Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phảI tìm chữ số tận cùng của tong số 
hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại . 
 Hướng dẫn : Tìm chữ số tận cùng của 172008 ; 112008 ; 32008 ta có : 
 A = 172008 – 112008 – 32008 = 1...... - 1...... - 1...... = 0...... - 1...... = 9...... 
11 
 Vậy A có chữ số tận cùng là 9 . 
 Bài 4 : Cho M = 1725 + 244 – 1321 . Chứng tỏ rằng : M  10 
 Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ 
M có chữ số tận cùng là 0 . 
 Giải : 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( 1...... )6.17 = 1...... .17 = 7...... 
 244 =(242)2 = 5762 = 6..... 
 1321 = (134)5.13 = ( 1...... )5.13 = 1...... . 13 = 3...... 
 Vậy M = 7...... + 6..... - 3...... = 0...... => M  10 
 Đến đây, sau khi làm bài 2 , bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát 
sau : 
 Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: 
 a. A = 24n – 5 (n N, n ≥ 1) 
 b. B = 24n + 2+ 1 (n N) 
 c. C = 74n – 1 (n N) 
 Hướng dẫn : a, Có : 24n = (24)n = 16 có chữ số tận cùng bằng 6 
 => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1 
 b, B = 24n + 2+ 1 (n N) 
 Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4 
 => B = 24n + 2+ 1 có chữ số tận cùng là 5 
 c, C = 74n – 1 
 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1 
 Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0 . 
 Bài 6 : Chứng tỏ rằng, các số có dạng: 
 a , A = 122 
n
 chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) 
 b , B = 424 
n
 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) 
 c , H = 392 
n
 chia hết cho 2 (n N, n ≥ 1) 
 Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc 
đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5, nhưng khi bắt tay vào 
làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 
n22 , 
n42 , 
n29 , học sinh không biết phải tính như thế 
nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: 
 n
n
a 22 2 , n
n 44 22 , n
n 22 99 
 Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau : 
 a) Với n N, n ≥ 2, ta có : 
n22 = 2
222 2242.2 1622
nnn
 có chữ số tận cùng là 6 
 => A = 122 
n
 có chữ số tận cùng là 5 
12 
 Vậy A  5 
 b) Với n N, n ≥ 1, ta có : 
n42 = 1
11 4444.4 1622
nnn
 có chữ số tận cùng là 6 
 => B = 424 
n
 có chữ số tận cùng là 0 
 Vậy B  10 
 c) Với n N, n ≥ 1, ta có : 
n29 = 1
11 2222.2 8199
nnn
 có chữ số tận cùng là 1 
 => H = 392 
n
 có tận cùng là 4 
 Vậy H  2 
 Bài tập luyện tập : 
 1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 22222003; 20082004; 20052005; 20062006 9992003; 
 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005 
 2, Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n : 
 a, 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 
 b, 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 
 c, 92n + 1 + 1 chia hết cho 10 
 3, Chứng tỏ rằng các số có dạng: 
 a, 
n22 +1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 2) 
 b, 124 
n
 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 1) 
 c, 
n23 +4 chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) 
 d, 
n43 - 1 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) 
 4, Tìm chữ số hàng đơn vị của : 
 a, A = 66661111 + 11111111 - 665555 
 b, B = 10n + 555n + 666n 
 c, H = 99992n +9992n+1 +10n ( n N*) 
 d, E = 20084n + 20094n + 20074n ( n N*) 
 5 . Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , cho 5 , cho 10 ? 
 a, 34n+1 + 1 (n N 
 b, 24n+1 -2 (n N) 
 c, 
n22 +4 (n N, n ≥ 2) 
 d, 
n49 - 6 (n N, n ≥ 1) 
 6 . Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2 + 1  5 
 7 . Tìm số tự nhiên n để n10 + 1  10 
 8 . Chứng tỏ rằng , bới mọi số tự nhiên n thì : 
13 
 a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n  10 (n > 1) 
 b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2  6 
 Hướng dẫn : 
 6 . a2 + 1  5 => a2 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 
 => a2 phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4 
 => a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8 
 7 . n10 + 1  10 => n10 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 
 => n10 = (n2)5 phải có chữ số tận cùng là 9 
 => n2 phải có chữ số tận cùng là 9 
 => n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 . 
 8 . a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n. (32+1) – 2n-1.( 23 + 2) 
 = 3n. 10 – 2n-1. 10 = 10 . (3n – 2n-1)  10  n N 
 b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n. (33+3) + 2n+1.( 22 + 2) 
 = 3n. 30 + 2n+1. 6 = 6. (5.3n + 2n+1)  6  n N 
 3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa . 
 * Phương pháp : Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa , ta cần chú ý những số 
đặc biệt sau : 
 +) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 
chính nó . 
 +) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số 
tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 . 
 +) các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76 . 
 +) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01 . 
 +) Số 26n (n N, n >1) 
 Bài 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100 
 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này : 
 2100 = (220)5 = ( 76...... )5 = 76...... 
 3100 = (320)5= ( 01...... )5 = 01...... 
 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của : 
 a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101. 16101 
 Hướng dẫn :Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 . 
 a, 5151 = (512)25. 51 = ( 01...... )25. 51 = 01...... . 51 = 51...... 
 => 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51 
 Tương tự : 
 b, 9999 =(992)49.99 = ( 01...... )49 . 99= 01...... . 99 = 99...... 
14 
 c, 6666 =(65)133.6 = ( 76...... )133 . 6= 76...... . 6 = 56...... 
 d, 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( 76...... )50 . 224 = 76...... . 224 
 = 24...... 
 Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: 
 Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: 
 a, 512k; 512k+1 (k N*) 
 b, 992n; 992n+1; 
999999 ; (n N*) 
 c, 65n; 65n+1; 
66666 ; (n N*) 
 Gợi ý: 
 a, 512k = (512)k = ( 01...... )k 
 512k+1 = 51. (512)k = 51. ( 01...... )k 
 b, 992n = (992)n = ( 01...... )n 
 992n+1 = 99. (992)n = 99. ( 01...... )n 
999999 , ta có 9999 là một số lẻ => 
999999 có dạng 992n+1 (Với n N, n > 1) 
 => 
999999 = 99.(992)n = 99 . ( 01...... )n (Với n N, n > 1) 
 c, 65n = ( 65)n = ( 76...... )n 
 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( 76...... )n 
66666 , ta có 6666 là một số có tận cùng là 6, => 
66666 có dạng 65n+1 (n N, n > 1) 
 => 
66666 = 6 . ( 76...... )n 
 Bài tập luyện tập: 
 1. Tìm hai chữ số tận cùng của : 
 a, 72003 b, 
999 c, 742003 
 d, 182004 e, 682005 f, 742004 
 2. Tìm hai chữ số tận cùng của : 
 a, 492n ; 492n+1 (n N) 
 b, 24n . 38n (n N) 
 c, 23n . 3n ; 23n+3 . 3n+1 (n N) 
 d, 742n ; 742n+1 (n N) 
 3. Chứng tỏ rằng : 
 a, A = 262n - 26  5 và  10 ( n N, n > 1) 
 b, B = 242n+1 + 76  100 (Với n N) 
 c, M = 512000 . 742000 . 992000 có 2 chữ số tận cùng là 76. 
 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. 
 *Phương pháp : Chú ý một số điểm sau. 
15 
 +) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 
chính số đó. 
 +) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. 
 Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. 
 Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 
 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 
 Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625. 
 có bốn chữ số tận cùng là 0625. 
 Bài 2 : Tìm ba chữ số tận cùng của: 
 a, 23n . 47n (n N*) 
 b, 23n+3 . 47n+2 (n N) 
 Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh., bài này lại yêu cầu 
tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi 
cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. 
 a, 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 
 376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376. 
 b , 23n+3 . 47n+2. 
 Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số mũ. 
Giáo viên có thể hướng dẫn : 
 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 
 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 
 = (8.47)n+1 . 47 
 = 47 . 376n+1 
 Ta có :376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672 
 Bài 3: Chứng tỏ rằng: 
 a. 
n45 + 375  1000 ( n N, n ≥ 1) 
 b. 
n25 - 25  100 ( n N, n ≥ 2) 
 c. 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002 
 Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy 
nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi. 
 a. Ta có: 
n45 = 
14.45
 n
 = 
14625
 n
 tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1) 
 => 
n45 + 375 có tận cùng 000. 
 Vậy: 
n45 + 375  1000 
 b. Ta có 
n25 = 
22 2.25
 n
= 
2245
 n
= 
22625
 n
 ( n N, n ≥ 2) 
 Vậy 
n25 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. 
16 
 Do đó : 
n25 - 25  100 
 c. 2001n + 23n . 47n + 252n 
 Ta thấy : 2001n có tận cùng là 001 
 23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 
 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 
 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. 
 3.3 Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa 
 * Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số 
hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) 
 +) Lưu ý một số tính chất sau : 
 Với a , b , m , n N , ta có : a > b  an > bn  n N* 
 m > n  am > an (a > 1) 
 a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n 0) 
 Với A , B là các biểu thức ta có : 
 An > Bn  A > B > 0 
 Am > An => m > n và A > 1 
 m < n và 0 < A < 1 
 Bài 1 : So sánh : 
 a, 33317 và 33323 
 b, 200710 và 200810 
 c, (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999 
 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có 
cùng số mũ . 
 a, Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323 
 b, Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 
 c, Ta có : (2008-2007)2009 = 12009 = 1 
 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 
 Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 
 Bài 2 : So sánh 
 a, 2300 và 3200 e, 9920 và 999910 
 b, 3500 và 7300 f, 111979 và 371320 
 c, 85 và 3.47 g, 1010 và 48.505 
 d, 202303 và 303202 h, 199010 + 1990 9 và 199110 
 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy 
thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ . 
17 
 Hướng dẫn : 
 a, Ta có : 2300 = 23)100 = 8100 
 3200 = (32)100 = 9100 
 Vì 8100 2300 < 3200 
 b, Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 
 7300 = (73)100 = 343100 
 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 
 c, Ta có : 85 = 215 = 2.214 85 < 3.47 
 d, Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 
 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 
 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 
 e, Ta thấy : 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) 
 f, ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 
 371320 = 372)660 = 1369660 
 Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320 
 g, Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*) 
 48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**) 
 Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 
 h, Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 
 199110 = 1991. 19919 
 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 
 Bài 3 . Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 
 Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý : 
hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528 
 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 
 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) 
 Lại có : 263 = (29)7 = 5127 
 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) 
 Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 
 Bài 4 . So sánh : 
 a, 10750 và 7375 
 b, 291 và 535 
 Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy 
thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán . Với bài 
này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian : 
 a, Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1) 
 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) 
18 
 Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 
 Vậy 10750 < 7375 
 b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 
 535 < 536 = (52)18 = 2518 
 => 291 > 3218 > 2518 > 535 
 Vậy 291 > 535 
 Bài 5 . So sánh : 
 a, (-32)9 và (-16)13 b, (-5)30 và (-3)50 
 c, (-32)9 và (-18)13 d, (
16
1 
)100 và (
2
1 
)500 
 Hướng dẫn : Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên 
 a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 
 Vì 245 - 252 
 Vậy (-32)9 > (-16)13 
 b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 
 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 
 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 
 c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 
 => - 245 > - 1813 = (-18)13 
 Vậy (-32)9 > (-18)13 
 d, Ta có : (
16
1 
)100 = 
100
100
16
1 
= 
10016
1
 =
4002
1
 còn (
2
1 
)500 = 
500
500
2
)1( 
= 
5002
1
 Vì 2400 < 2500 nên 
4002
1
 > 
5002
1
 Vậy (
16
1 
)100 > (
2
1 
)500 
 Bài 6 . So sánh A và B biết : A = 
12008
12008
2009
2008
 ; B = 
12008
12008
2008
2007
 Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau : 
 * Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được : 
 +) Nếu 
b
a
> 1 thì 
cb
ca
b
a
 +) Nếu 
b
a
< 1 thì 
cb
ca
b
a
 Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có : 
19 
 Vì A = 
12008
12008
2009
2008
< 1 nên 
 A = 
12008
12008
2009
2008
< 
200712008
200712008
2009
2008
=
20082008
20082008
2009 
=
)12008.(2008
)12008.(2008
2009
2007
 =
12008
12008
2007
2007
=B 
 Vậy A < B . 
 Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau : 
 Cách 1: Ta có : 2008.A = 
12008
2008).12008(
2009
2008
12008
200712008
2009
2009
 =1+
12008
2007
2009 
 2008.B = 
12008
2008).12008
2008
2007
12008
200712008
2008
2008
 =1+
12008
2007
2008 
 Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 
12008
2007
2009 
< 
12008
2007
2008 
 => 2008.A < 2008. B 
 => A < B 
 Cách 2: 
A
1
= 
12008
12008
2008
2009
=
12008
200720082008
2008
2009
=
12008
2007)12008.(2008
2008
2008
 = 2008 - 
12008
2007
2008 
B
1
= 
12008
12008
2007
2008
=
12008
200720082008
2007
2008
=
12008
2007)12008.(2008
2007
2007
 = 2008 - 
12008
2007
2007 
 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên 
12008
2007
2008 
< 
12008
2007
2007 
 => 2008 - 
12008
2007
2008 
 > 2008 - 
12008
2007
2007 
 Vậy 
A
1
> 
B
1
 => A 0) 
 Bài 8 . So sánh M và N biết: M = 
1100
1100
99
100
 ; N = 
1100
1100
100
101
 Hướng dẫn : 
20 
 Cách 1 : N = 
1100
1100
100
101
> 1 
 => N =
1100
1100
100
101
>
991100
991100
100
101
=
100100
100100
100
101
=
100).1100(
100).1100(
99
100
= 
1100
1100
99
100
= M 
 Vậy M < N. 
 Cách 2 : M = 
1100
1100
99
100
= 
1100
99100100
99
100
=
1100
99100).1100(
99
99
= 100 - 
1100
99
99 
 N = 
1100
1100
100
101
= 
1100
99100100
100
101
=
1100
99100).1100(
100
100
= 100 - 
1100
99
100 
 Vì 10099 + 1 < 100100 + 1 nên 
1100
99
99 
 > 
1100
99
100 
 => 100 - 
1100
99
99 
< 100 - 
1100
99
100 
 Vậy M < N. 
 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau : 
 1 . So sánh : 
 a, 528 và 2614 b, 521 và 12410 c, 3111 và 1714 
 d, 421 và 647 e, 291 và 535 g, 544 và 2112 
 h, 230 + 330 + 430 và 3. 2410 
 2 . So sánh : 
 a, 
2
300
1
 và 
3
200
1
 b, 
5
199
1
 và 
3
300
1
 c, 
8
4
1
 và 
5
8
1
 d, 
15
10
1
 và 
20
10
3
 3. So sánh : 
 a, A = 
113
113
16
15
 và B = 
113
113
17
16
 b, A = 
11999
11999
1998
1999
 và B = 
11999
11999
1999
2000
 c, A = 
1100
1100
99
100
 và B = 
1100
1100
68
69
 Gợi ý : 
 c, A = 
1100
1100
99
100
 và B = 
1100
1100
68
69
21 
 Bài này không giống bài 7 và bài 8. Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm bài, giáo viên cần 
hướng dẫn : Quy đồng mẫu A và B , ta có : 
 A = 
)1100).(1100(
)1100).(1100(
6899
68100
 và B = 
)1100).(1100(
)1100).(1100(
9968
9969
 Để so sánh A và B lúc này ta có thể so sánh tử số của A và tử số của B. 
 Xét hiệu tử số của A trừ tử số của B: 
 (100100 + 1). (10068 + 1) - (10069 + 1). (10099 + 1) 
 = 10068 + 100100 + 10068 + 1 - 100168 – 10099 – 10069 – 1 
 = 100100 – 10099 – 10069 + 10068 
 = 100 . 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068 
 = 99.10099 - 99.10068 
 = 99 . (1009