Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 4: Bất đẳng thức – cực trị

 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA
I-BĐT VÀ CỰ TRỊ ĐẠI SỐ
Phương pháp: 
 So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu 
muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại 
 1 1 1 1
Bài 1: Chứng minh rằng: A ... 1
 22 32 42 1002
 Lời giải
 Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:
 1 1 1 1 1
 A ... 
 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100
 Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A ... ... 
 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 
 1 1
 A 1
 1 100
 1 1 1 1 1 1
Bài 2: Chứng minh rằng: ... 
 6 52 62 72 1002 4
 Lời giải
 Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:
 1 1 1 1 1 1
 A ... và Chứng minh A 
 52 62 72 992 1002 6
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A ... ... 
 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101
 1 1 96 96 1
 A đến đây, ta sẽ so sánh với như sau:
 5 101 505 505 6
 96 96 1 1
 Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân 
 505 576 6 6
 96 96 1
 số cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: A (1)
 505 567 6
 1 1 1 1 1 1
 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A ... 
 52 62 72 992 1002 4
 Ta làm tương tự như sau :
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... ... 
 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100
 1 1 1
 A (2)
 4 100 4
 1 1
 Từ (1) và (2) ta có : A 
 6 4
 1 1 1 1 3
Bài 3: Chứng minh rằng: ... 
 22 32 42 1002 4
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta biến đổi: A ... ... 
 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100 
 1 1 1 3 1 3
 A 
 4 2 100 4 100 4
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 1 1 1 1 1
Bài 4: Chứng minh rằng: A ... 
 22 42 62 1002 2
 Lời giải
 Nhận thấy bài này là tổng cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa 
 hai liên tiếp như sau :
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A 2 1 2 2 2 ... 2 1 ... 
 2 2 3 4 50 4 1.2 2.3 3.4 49.50 
 1 1 1 1 1
 A 1 1 
 4 50 2 200 2
 1 2 3 100
Bài 5: Chứng minh rằng: A ... 2
 2 22 23 2100
 Lời giải
 Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A
 Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có 
 thể tính được,
 2 3 4 99 100
 Ta tính tổng A như sau: 2A 1 ... 
 2 22 23 298 299
 Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được : 
 3 1 1 1 100 1 1 1 1
 A ... , đặt B ... và tính tổng B theo cách như 
 2 22 23 299 2100 22 23 24 299
 1 1 3 1 1 100
 trên ta được : B , thay vào A ta được : A 2
 2 299 2 2 299 2100
 1 2 3 100 3
Bài 6: Chứng minh rằng: A ... 
 3 32 33 3100 4
 Lời giải
 1 1 1 1 100
 Tính tượng tự như bài 5, ta có: 2A 1 ... , 
 3 32 33 999 3100
 1 1 1 1
 Đặt B ... , và tính B rồi thay vào tổng A ta được
 3 32 33 399
 1 1 1 1 100 1 3 3
 B 2A 1 2A 1 A 
 2 2.399 2 2.399 3100 2 2 4
 1 1 1 1
Bài 7: Chứng minh rằng: A ... 1
 22 32 42 n2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có : A .... ... 1 1
 2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n 1 n n
 1 1 1 1 1
Bài 8: Chứng minh rằng: A ... 
 42 62 82 (2n)2 4
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có : A ... ... 1 
 2 2 2 2 2 
 2 2 3 4 n 4 1.2 2.3 n 1 n 4 n 4 4n 4
 1 1 1 1 1
Bài 9: So sánh A ... với 
 22 42 62 (2n)2 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A 2 1 2 3 ... 2 1 1 
 2 2 2 n 4 n 2 4n 2
 Trang 2 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 1 1 1 1 1
Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n > 2 thì A ... không là số tự 
 12 22 32 42 n2
nhiên
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có : A ... 1 ... 2 
 12 22 32 42 n2 1.2 2.3 n 1 n
 Mặt khác ta thấy A 1
 Vậy ta có : 1 A 2
 1 1 1 1 1
 Vậy với số tự nhiên n > 2 thì A ... không là số tự nhiên
 12 22 32 42 n2
 1 1 1 1 2004
Bài 11: Chứng minh rằng: A ... 
 22 32 42 20052 2005
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2004
 Ta có A ... ... 1 
 22 32 42 20052 1.2 2.3 3.4 2004.2005 2005 2005
 1 1 2 3 2016 1
Bài 12: Chứng minh rằng: ... 
 4 5 52 53 52016 3
 Lời giải
 1 1 1 2016
 4A 1 2 ... 2005 2016 , Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có :
 5 5 5 5
 1 1 1
 4B 1 B , thay vào A ta được :
 52015 4 4.52015
 1 1 2016 5 5 5 1
 4A 1 A (1)
 4 52015 52016 4 16 15 3
 1 2 2016 1 2 7 7 1
 Mặt khác : A ... (2)
 5 52 52016 5 25 25 28 4
 1 1 2 3 2016 1
 Từ (1) và (2) ta được ... 
 4 5 52 53 52016 3
 1 2 3 4 99 100 3
Bài 13: Chứng minh rằng: A ... 
 3 32 33 34 399 3100 16
 Lời giải
 1 1 1 1 100
 Tính tổng A , ta được : 4A (1 .... ) , 
 3 32 33 399 3100
 3 1 3 1 100 3 3
 Đặt tổng trong ngoặc bằng B 4A A 
 4 4.399 4 399.4 3100 4 16
 3 5 7 19
Bài 14: Chứng minh rằng: A ... 1
 12.22 22.32 32.42 92.102
 Lời giải
 22 12 32 22 102 92 1 1 1 1 1 1 
 Ta có : A 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 
 1 .2 2 .3 9 .10 1 2 2 3 9 10 
 1
 A 1 1
 102
 3 5 7 4019
Bài 15: Chứng minh rằng: ... 1
 12.22 22.32 32.42 20092.20102
 Lời giải
 22 12 32 22 42 32 20102 20092
 Ta có : A ... 
 12.22 22.32 32.42 20092.20102
 1 1 1 1 1 1 1
 A ... 1 1
 12 22 22 32 20092 20102 20102
 Trang 3 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 16: Chứng minh rằng: S ... 
 22 24 26 28 22002 22004 5
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 S 5S 1 1 1 1
 S ... S S 
 22 24 26 28 210 22004 22006 4 4 22 22006 4 5
 1 1 1 1 1
Bài 17: Chứng minh rằng: B ... 
 3 32 33 32005 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 2B 1 1 1 1
 B ... B B B 
 3 32 33 34 32006 3 3 3 32006 3 2
 1 2 3 2015
Bài 18: Chứng minh rằng: M ... có giá trị không nguyên
 3 32 33 32015
 Lời giải
 3
 Tính M M nên M 0 vậy M không có giá trị nguyên
 4
 2 2 2 2 1003
Bài 19: Chứng minh rằng: A ... 
 32 52 72 20072 2008
 Lời giải
 2 2 2 2 1 1 1003
 A .. 
 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2 2008 2008
 3 3 3
Bài 20: Chứng minh rằng: S ... 1
 1.4 4.7 n(n 3)
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1
 S 1 ... 1 1
 4 4 7 n n 3 n 3
 1 1 1 1 1
Bài 21: Chứng minh rằng: B 1 ... 
 22 32 42 20042 2004
 Lời giải
 1 1 1 1 
 B 1 2 2 2 ... 2 , Đặt tổng trong ngặc bằng B ta có:
 2 3 4 2004 
 1 1 1 1 1 1
 A ... 1 A 1 
 1.2 2.3 3.4 2003.2004 2004 2004
 1 1
 B 1 A 1 1 B 
 2004 2004
 1 1 1 1 1
Bài 22: Chứng minh rằng: ... 0,2
 22 24 26 22002 22004
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A ... A A 
 4 24 26 28 22004 22006 4 22 22006 4
 5A 1 1
 A 0, 2
 4 4 5
 Trang 4 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 1 1 1 1 4
Bài 23: Chứng minh rằng: A ... thì A 
 32 42 502 4 9
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 1
 Ta có : A ... ... 
 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 3 51 153 192 4
 Mặt khác : 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 191 200 4
 A ... ... 
 3.3 4.4 5.5 50.50 9 3.4 4.5 49.50 9 3 50 450 450 9
 1 4
 Vậy A 
 4 9
 1 1 1 7 5
Bài 24: Cho A ... . Chứng minh rằng: A 
 1.2 3.4 99.100 12 6
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Chứng minh rằng: A ... A ... ... 
 51 52 100 51 52 75 76 77 100 
 1 1 1 1 7
 TH1: A .25 .25 
 75 100 3 4 12
 1 1 1 1 5
 TH2: A .25 .25 
 50 75 2 3 6
 1 1 1
Bài 25: Cho A ... . Chứng minh rằng: A < 2
 12 22 502
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A ... 1 ... 2 2
 1 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50
Bài 26: Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3
 a, b, ... 
 2 4 8 16 32 64 3 3 32 33 34 399 3100 16
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 a, Ta có: A 2A 1 
 2 4 8 16 32 64 2 4 8 16 32
 1 1
 Nên 2A A 3A 1 1 A 
 64 3
 1 1 1 1 1 100
 b, Ta có: 3A A 4A 1 ... 
 3 32 33 34 399 3100
 1 1 1 1 1 3 1
 Đặt B 1 ... B , Thay vào A ta được:
 3 32 33 34 399 4 3.399
 3 1 100 3 3
 4A A 
 4 399.4 3100 4 16
 1 1 1 1 1
Bài 27: Chứng minh rằng: ... 
 72 74 798 7100 50
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1
 Đặt A ... Nhân 49 A 50A 1 1 A 
 72 74 798 7100 7100 50
 Trang 5 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 2012 2012 2012 2012
Bài 28: Chứng minh rằng: 1 ... 2
 20112 1 20112 2 20112 3 20112 2011
 Lời giải
 2012 2012 2012 2012
 Ta có: , , tương tự như vậy :
 20112 1 20112 20112 2 20112
 2012 2012 2012 2012.2011 2012
 A ... 2 A 2 
 20112 20112 20112 20112 2011
 2012 2012 2012 2012
 Mặt khác: , , 
 20112 1 20112 2011 20112 2 20112 2011
 Tương tự như vậy:
 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011
 A ... 1 
 20112 2011 20112 2011 20112 2011 20112 2011 2011 2011 1 
 1 1 1 1
Bài 29: Chứng minh rằng: ... 10
 1 2 3 100
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1
 Ta có : ; ;...; vậy 
 1 10 2 10 100 10
 1 1 1 1 1 1 1 100
 ... ... 10
 1 2 3 100 10 10 10 10
 3 8 15 2499
Bài 30: Chứng minh rằng: E ... 48
 4 9 16 2500
 Lời giải
 1 1 1 1 
 E 1 1 1 ... 1 
 4 9 16 2500 
 1 1 1 1 
 49 2 2 2 ... 2 48
 2 3 4 50 
 1 1 1 7 5
Bài 31: Cho A ... . Chứng minh rằng: A 
 1.2 3.4 99.100 12 6
 Lời giải
 1 1 1
 Chứng minh rằng: A ... 
 51 52 100
 1 1 1 1 1 1 
 A ... ... 
 51 52 75 76 77 100 
 1 1 1 1 7
 TH1: A .25 .25 
 75 100 3 4 12
 1 1 1 1 5
 TH2: A .25 .25 
 50 75 2 3 6
 1 1 1 1
Bài 32: Chứng minh rằng: 1 ... 100 
 2 3 4 2500
 Lời giải
 1 2 2
 Xét số hạng tổng quát: 2 n n 1 , n 1 
 n n n n n 1
 Trang 6 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 1 1 1
 Do đó: 1 .... 2 n n 1 ... 2 1 1 0 
 2 3 n
 1 1 1
 Với n = 2500 , ta có: A 1 ... 2. 2500 100 
 2 3 2500
 1 1 1 1 1
Bài 33: Chứng minh rằng: A ... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 4
 Lời giải
 1 1 1 1 1
 2A A 
 1.2 19.20 4 19.40 4
 36 36 36 36
Bài 34: Chứng minh rằng: D ... 3
 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29
 Lời giải
 4 4 4 4 1 1 1
 D 9 ... 9 3 3
 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 1.3 27.29 3.29
 Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
Phương pháp:
 Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm 
đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 1: Chứng minh rằng: 
 4 16 36 64 100 144 196 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có ... 
 4 16 36 64 100 144 196 22 42 62 142 2
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 2: Chứng minh rằng: 
 5 13 25 41 61 85 113 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có 
 5 13 25 41 61 85 113 5 12 12 12 60 60 60 5 4 20 2
 11 1 1 1 1 1 3
Bài 3: Chứng minh rằng: ... 
 15 21 22 23 59 60 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
 Ta có ... ... = 40. 
 21 22 23 59 60 202020 20 2
 40sè h¹ng
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có ... ... ... 
 21 22 23 59 60 404040 606060
 20sè h¹ng 20sè h¹ng
 1 1 1 1 5 25 22 11
 20. 20. 
 40 60 2 3 6 30 30 15
 Trang 7 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 11 1 1 1 1 1 3
 Vậy ... 
 15 21 22 23 59 60 2
 1 1 1 1 1 7
Bài 4: Chứng minh rằng: ... 
 41 42 43 79 80 12
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Nhóm thành 2 ngoặc: Khi đó ta có: VT ... ... 
 41 42 43 60 61 62 63 80 
 1 1 1 1 1 1 20 20 1 1 7
 VT ... ... 
 606060 808080 60 80 3 4 12
 20sè h¹ng 20sè h¹ng 
 2010 2011 2012 1 1 1 1
Bài 5: So sánh A và B biết : A và B ... 
 2011 2012 2010 3 4 5 17
 Lời giải
 1 1 2 1 1 1 1 
 A 1 1 1 3 3 
 2011 2012 2010 2010 2011 2010 2012 
 Tổng B có 15 số
 1 1 1 1 1 1 5 5 5 67 72
 B ... ... ... 3 
 3 7 8 12 13 17 3 8 10 24 24
 Vậy A > B
 1 1 1 1
Bài 6: Cho M ... . Chứng minh rằng: M < 2
 5 6 7 17
 Lời giải
 Tổng M có 13 số
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có: .5 1 và ... .8 1 
 5 6 7 8 9 5 10 11 17 8
 1 1 1 1
 Vậy M ... 1 1 2
 5 6 7 17
 3 3 3 3 3
Bài 7: Cho S . Chứng minh rằng: 1 S 2 
 10 11 12 13 14
 Lời giải
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
 Ta có S 1 S 1 
 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
 Ta có S 1,5 2 S 2 
 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10
 Vậy 1 S 2
 5 5 5 5
Bài 8: Cho S ... . Chứng minh rằng: 3 < S < 8
 20 21 22 49
 Lời giải
 Tổng trên có 30 số hạng:
 5 5 5 5
 Ta có: S ... 30. 3 S 3 
 50 50 50 50
 Trang 8 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 5 5 5 5 5
 Ta có S ... 30. S 8
 20 20 20 20 20
 Vậy3< S < 8
 1 1 1 1 5 3
Bài 9: Chứng minh rằng: A .. thì A 
 101 102 103 200 8 4
 Lời giải
 Ta thấy tổng A có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai phân số, 
 gốm 1 phân số đứng đầu và 1 phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào trong tổng
 1 1 1 1 1 1 
 A ... 
 101200  102199  150151 
 50 ngoÆc
 301 301 301
 ... 
 101.200102.199150.151
 50 sè h¹ng
 1 1 1 
 A 301 ... , 
 101.200102.199150.151 
 50 sè h¹ng 
 Lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung 1 phân số đầu hoặc cuối,
 5
 TH1: Ta chứng minh A thì ta có: 
 8
 1 1 1 50 301 300 300 5
 A 301. ... 301. (1)
 150.151 150.151 150.151 150.151 453 453 480 8
 3
 TH2: Ta chứng minh A ta có:
 4
 1 1 1 50 301 303 3
 A 301. ... 301. (2)
 101.200 101.200 101.200 101.200 404 404 4
 5 3
 Từ (1) và (2) A 
 8 4
 7 1 1 1 1
Bài 10: Chứng minh rằng: ... 
 12 101 102 103 200
 Lời giải
 1 1 1
 Nhận thấy tổng A ... chính là tổng bài 9
 101 102 200
 5 5 7 7
 Nên ta chứng minh được A , mà A 
 8 8 12 12
 1 1 1 1 4 5
Bài 11: Cho A ... Chứng minh rằng: A 
 11 12 13 70 3 2
 Lời giải
 Thấy rằng tổng A có 60 số hạng 
 4
 TH1: Ta chứng minh A bằng cách nhóm 2 số một ngoặc thông thường
 3
 1 1 1 1 1 1 81 81 81
 Ta có: A ... ... 
 1170  1269  4041 11.7012.6940.41
 30 ngoÆc 30 sè h¹ng
 Trang 9 CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
 81 81 81 81.30 243 240 240 4
 A ... 
 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 3
 5
 TH2: Tuy nhiên để chứng minh A , nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không chứng minh 
 2
 được
 Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng 
 5
 A lớn hơn , do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên nhóm thành 6 ngoặc
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A .. .. .. .. .. .. 
 11 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A .. .. .. .. .. .. 
 11 11 21 21 31 31 41 41 51 51 61 61 
 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1
 A 1 
 11 21 31 41 51 61 2 3 4 5 6
 1 1 1 1 1 5
 = 1 = 2 0,5 
 2 3 6 4 5 2
 4 5
 Vậy A 
 3 2
 1 1 1 1 3 4
Bài 12: Cho S ... , Chứng minh rằng: S 
 31 32 33 60 5 5
 Lời giải
 Nhóm tổng S thành 3 ngoặc
 1 1 1 1 1 1 10 10 10
 S ... ... ... 
 31 40 41 50 51 60 31 41 51
 10 10 10 1 1 1 4
 30 40 50 3 4 5 5
 10 10 10 1 1 1 3
 Mặt khác: S 
 40 50 60 4 5 6 5
 3 4
 Vậy S 
 5 5
 1 1 1 1 1 1
Bài 13: Cho A ... , Chứng minh rằng: 0,2 < A < 0,4
 2 3 4 5 98 99
 Lời giải
 Tách tổng A thành:
 1 1 1 1 1 1 1 1 13 12 1
 Ta có A ... ... 0,2
 2 3 4 5 6 7 98 99 60 60 5
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
 Ta có A ... 0,4
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 97 98 99 5
Vậy 0,2 < A < 0,4
 3 1 1 1 3
Bài 14: Chứng minh rằng: ... 
 5 2004 2005 4006 4
 Lời giải
 1
 Thấy rằng tổng A có 2003 số hạng, số hạng ở giữa là 
 3005
 1 1 1 1 1 1 1
 TH1: A ... 
 2004 4006 2005 4005 3004 3006 3005
 Trang 10